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12月 8 2016

冰山下的数学素养 | 原来抽象能力差是因为“数苹果”学砸了


上一篇《冰山下的数学素养|工作表现差竟是因为它!》发出后,给大家上了一次印象深刻的数学素养的科普课,许多家长惊呼:第一次了解到数学素养的概念化思维竟然会给生活和工作带来这么多潜移默化的影响。今天我们将为大家继续带来卓越360特约数学专家的数学素养之“抽象化的表现”。
1提起抽象一词,大家更多的印象是难以理解的事物,就如抽象派大师康定斯基的画作一般。其实抽象这个词的本意并非如此,抽象是从众多的事物中抽取出共同的、本质性的特征,而舍弃其非本质的特征的过程。简单来理解,就是从不同的东西中找出相同的部分。举一个实际生活的例子:

朱先生是丰田汽车销售部的经理。某天,有两个小伙子A君和B君来应聘当销售员。为了了解他们对丰田汽车产品的熟悉程度,朱先生分别让他们说说“丰田86”这款车是怎么样的。

A君说:我知道,我知道。这款车是白色的,丰田的车标在车子的前后都有,车头灯在车标左右两边,目前26万多的售价。

B君说:我知道,我知道。这款车是双门跑车,2.0排量自然吸气、代号为FA20的发动机,7000转时达到最大功率147KW,约6600转时达到最大扭矩205牛·米。气缸是水平倒置的四缸设计。但悬挂系统比较普通,前面是麦弗逊式独立悬挂,后面是多连杆式独立悬挂。听完以上两人的话,大家应该都会认为B君对“丰田86”的了解更多、更深一些,不过千万不能因为B君说出的内容更多,而就此认为B君比A君认识更深。B君比A君优胜之处,在于他能说出“丰田86”与其他车型的不同属性。A君提到的车的颜色、车标与车灯的位置以及售价,与之相仿的车型有很多,但B君能将“丰田86”的发动机参数、底盘参数等有别于其他车型的内容道出,这些都是与其他车型不一定相同的属性,故此表明他更能抓住“丰田86”的本质属性,他的抽象能力比较强。2一个数学素养良好的人,在认识事物的过程中,会更关注事物的本质属性,或者具有相同属性的一类事物,并且会用语言符号等表述出来。也可以这么认为,一个具备良好数学素养的人,它在认识事物、改造事物过程中,会时刻关注事物的本质属性,也比一般人更擅长于抽象出这些属性。下面再用一个例子为大家说明: 
3

回到数学学科层面上,数学学习完全离不开抽象的过程。任何一个概念、公式、定理、法则,学习过程中一定有抽象这个环节。学生不断地经历“抽象”的过程,渐渐就会形成良好的数学素养。但某些以超前、超难、超快为宗旨的教育机构,在进行其“超前”教学时,往往会忽视了“抽象”的过程。下面是其幼儿园大班秋季课本中的例题,内容是认识自然数1至5。

从教材中,我们看到认识数的过程存在严重的“去抽象化”。认识1至5这节课有两个重要的抓手:首先,学生已经会用一一对应的方法比较事物的数量多少;其次,1是自然数的基本单位,是一个不加定义的原始概念,其他自然数在1的基础上不断地递归产生。

按照心理学和数学学科的理论,正确的教学流程和步骤应该是这样的。

第一步,引入“1”这个概念。学生对于1个物体是多少,已经早有认识。老师可以布置学生随意拿出一个物品,笔、尺子、纸、苹果都可以,但例证至少三个。然后老师在黑板贴出一个圆片(其他形状的教具亦可,但一定要形状简单,尽量减少其他非本质属性的干扰),并且将学生拿出的那“1个物品”建立一一对应的关系。比如可以板书成下面的样子。

然后有经验的老师一般会这样告诉学生:老师在黑板上贴出了一个圆片,同学们不管拿的是什么物品,只要和老师这次贴在黑板上的圆片数同样多,你拿的数量就是1个。上面这句话所提到的,就是 “1”这个概念的抽象过程。“1”是一个数,它可以代表一支笔,一把尺子或一个苹果,但笔、尺子和苹果都不是“1”的本质属性。老师选取圆片作为“1”的数量示范,正是因为圆片简单、干扰少,更希望学生抽象出“1”对应的具体数量是多少。

第二步,引入2、3、4、5等数的概念。2、3、4、5这些数不是原始概念,是可以定义的。有经验的老师会这样教:比1多1是2,比2多1是3,以此类推。然后在认识2、3、4、5这些数的时候,同样是以圆片为辅助,抽象出2、3、4、5的具体数量,建立数的概念,并且让学生明白数量的多少与物品是什么东西没有关系,只要是“1件”再多1件就是“2件”,“2件”再多1件就是“3件”。以认识“3”为例,老师应该会有类似这样的板书。

上面的四幅图中,第一幅是“3”的定义(内涵),表明3是2添上1得到的。接下来的三幅是“3”可以表示的具体物品数量(外延),可以是3个苹果、3只小兔和3架飞机。不管是表示什么物品,只要跟小圆片的数量同样多(比2个多1个),我们就能用“3”来表示数量。无论是内涵还是外延,两者均缺一不可。然而在刚才那套“数苹果”的课本里面,数的认识几乎让人看不到抽象的过程,并且将数字1、2、3、4、5的教学等同于概念1、2、3、4、5的教学,这是完全错误的。数字1、2、3、4、5仅仅是一个符号而已,它在中文里表示为一、二、三、四、五,在英文里表示为one、two、three、four、five,在日语里表示为ぃち、に、さん、し、ご,都只是一个表示的符号,但无论你用哪种符号系统,都不会改变这些数所代表的具体数量。在任何的国家任何的语言中,“3个”永远就是“2个再多1个”!4

利用一一对应的思路来比较数量的多少,不仅仅是一两道题就可以强化的。有时还需要一些变式的练习作辅助,进一步提高学生的思维水平。

例如,卓越数学升1年级暑假课本有这样一道题:两个动物园各有一些动物,哪个动物园的动物多一些呢?本题中,两个动物园的动物并没有整齐地排成两列,不方便孩子用连线来建立一一对应的关系,然而这并不代表一一对应的方法就用不上。本题想教会孩子们一种方法,分别找出两个动物园里相同的动物,然后同时用一条斜线将它们划去,到了最后,哪个动物园还有动物剩下来,我们就知道哪个动物园的动物比较多,而且还知道多出来的是哪些动物。这道题是一道好题,虽然不是什么繁难的题,但对于一个六岁的孩子而言,思维训练的力度是很足的。

在某些标榜“提前学”的机构课堂中,老师们在讲授基础数学知识时,会忽视上述的思维训练,使得教出来的孩子只会做题,却不会用做题的思维来解决实际问题。可以这样认为,这种“阉割式”的提前学,容易把孩子培养成只会做题不会做事,这也是一种不具备抽象化数学素养或者抽象化水平低下的表现。5数学学科要培养人良好的数学素养,其中一项就是要培养人良好的抽象能力,在面对事物时能做到抽象化,能从不同对象中敏捷地把握住事物的共同属性,或者能将具有相同属性的一类事物建立起联系。这样的素养可不是通过大量刷题来培养的,更不能以超前、超难、超快的教学内容来实现的。再给大家讲一件源于生活的案例:某健身中心里面有一个大型的蒸汽房。蒸汽房的前台有一位小伙子在值班。某天,主管巡班到来,随口问了小伙子一句:今天来蒸汽房的客人多吗?小伙子朝一个奇怪的方向看了一眼,答道:还可以,有43人在里头。主管惊讶万分:蒸汽房里充满蒸汽,外面是看不见里面的,而且这小伙子也不会每进去一个客人就记下数目,怎么就可以说出里面有43人这么精确的呢?小伙子告诉主管,看一下前台的鞋柜就知道了。原来蒸汽房有个规定,为免客人在蒸汽房中滑倒,规定进去的客人一定要穿上拖鞋。而这拖鞋是由前台的这位小伙子负责发放的。通常他是按拖鞋的号码顺序拿给客人的,只要看看鞋柜空缺的号码当前到了多少号,就知道蒸汽房里进了多少人。大家看懂这个生活中的实际例子吗?不妨找一找当中的数学原理跟前面那道一年级的数学题有什么联系之处,然后你会明白,在基础教育阶段,老师们一些平常令人不起眼的教学行为,其实在向我们的孩子传授湛深的数学道理,不仅仅为解题,更重在处事。如果你发现自己的孩子在被别人训练成刷数学题的机器,那么悬崖勒马是你最好的选择!
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Written by yuefabo


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